📘 সংখ্যা প্ৰণালী — অনুশীলনী 1.5
| অনুশীলনীঃ 1.1 |
| অনুশীলনীঃ 1.2 |
| অনুশীলনীঃ 1.3 |
| অনুশীলনীঃ 1.4 |
| অনুশীলনীঃ 1.5 |
প্ৰশ্ন 1. তলৰ সংখ্যাবোৰ পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় হিচাপে শ্ৰেণীবদ্ধ কৰা।
(i) 2 − √5
2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা আৰু √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ যোগফল বা বিয়োগফল সদায় অপৰিমেয় হয়।
∴ 2 − √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ যোগফল বা বিয়োগফল সদায় অপৰিমেয় হয়।
∴ 2 − √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
(ii) (3 + √23) − √23
= 3 + √23 − √23
= 3
3 = 3/1 আকাৰত লিখিব পাৰি।
∴ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
= 3
3 = 3/1 আকাৰত লিখিব পাৰি।
∴ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(iii) (2√7)/(7√7)
= 2/7
2/7 হৈছে p/q আকাৰৰ সংখ্যা।
∴ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
2/7 হৈছে p/q আকাৰৰ সংখ্যা।
∴ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(iv) 1/√2
√2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা পৰিমেয় সংখ্যাক অপৰিমেয় সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে ফলাফল অপৰিমেয় হয়।
∴ 1/√2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা পৰিমেয় সংখ্যাক অপৰিমেয় সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে ফলাফল অপৰিমেয় হয়।
∴ 1/√2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
(v) 2π
π এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা non-zero পৰিমেয় সংখ্যাৰ লগত অপৰিমেয় সংখ্যা গুণ কৰিলে অপৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যায়।
∴ 2π এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
এটা non-zero পৰিমেয় সংখ্যাৰ লগত অপৰিমেয় সংখ্যা গুণ কৰিলে অপৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যায়।
∴ 2π এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
প্ৰশ্ন 2. তলৰ প্ৰতিটো ৰাশি সৰল কৰা।
(i) (3 + √3)(2 + √2)
বিতৰণ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি,
= 3×2 + 3×√2 + 2×√3 + √3×√2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6
∴ উত্তৰ = 6 + 3√2 + 2√3 + √6
= 3×2 + 3×√2 + 2×√3 + √3×√2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6
∴ উত্তৰ = 6 + 3√2 + 2√3 + √6
(ii) (3 + √3)(3 − √3)
(a+b)(a−b)=a²−b²
= 3² − (√3)²= 9 − 3
∴ উত্তৰ = 6
(iii) (√5 + √2)²
(a+b)² = a² + 2ab + b²
= (√5)² + 2×√5×√2 + (√2)²= 5 + 2√10 + 2
∴ উত্তৰ = 7 + 2√10
(iv) (√5 − √2)(√5 + √2)
(a+b)(a−b)=a²−b²
= (√5)² − (√2)²= 5 − 2
∴ উত্তৰ = 3
(v) (3√5 − 4√3)²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
= (3√5)² − 2×3√5×4√3 + (4√3)²= 45 − 24√15 + 48
∴ উত্তৰ = 93 − 24√15
(vi) (√7 − 6)(√3 − √7)
= √7×√3 − √7×√7 − 6√3 + 6√7
= √21 − 7 − 6√3 + 6√7
∴ উত্তৰ = √21 − 6√3 + 6√7 − 7
= √21 − 7 − 6√3 + 6√7
∴ উত্তৰ = √21 − 6√3 + 6√7 − 7
(vii) (2 + √6)(4 + √6)
= 2×4 + 2√6 + 4√6 + √6×√6
= 8 + 2√6 + 4√6 + 6
∴ উত্তৰ = 14 + 6√6
= 8 + 2√6 + 4√6 + 6
∴ উত্তৰ = 14 + 6√6
প্ৰশ্ন 3. π কিয় অপৰিমেয় সংখ্যা?
π =
c/d
বুলি লিখা হয় যদিও ই সম্পূৰ্ণ সঠিক মান নহয়।
π ৰ প্ৰকৃত মান হৈছে —
π = 3.14159265.....
ই এটা অপৰিসমাপ্ত আৰু অপুনঃপৌনিক দশমিক সংখ্যা।
22/7 হৈছে π ৰ কেৱল নিকটতম মান।
∴ π এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
π ৰ প্ৰকৃত মান হৈছে —
π = 3.14159265.....
ই এটা অপৰিসমাপ্ত আৰু অপুনঃপৌনিক দশমিক সংখ্যা।
22/7 হৈছে π ৰ কেৱল নিকটতম মান।
∴ π এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
প্ৰশ্ন 4. √9.3 সংখ্যাটো সংখ্যাৰেখাত উপস্থাপন কৰা।
1️⃣ সংখ্যাৰেখাত AB = 9.3 একক লোৱা।
2️⃣ B ৰ সোঁফালে 1 একক লৈ C বিন্দু লোৱা।
3️⃣ AC ৰ মধ্যবিন্দু O লোৱা।
4️⃣ O কেন্দ্ৰ কৰি OC ব্যাসাৰ্ধেৰে অৰ্ধবৃত্ত আঁকা।
5️⃣ B বিন্দুত লম্ব BD আঁকা।
6️⃣ B কেন্দ্ৰ কৰি BD ব্যাসাৰ্ধ লৈ arc আঁকিলে সংখ্যাৰেখাত E বিন্দু পোৱা যায়।
∴ E বিন্দুৱে √9.3 সূচায়।
2️⃣ B ৰ সোঁফালে 1 একক লৈ C বিন্দু লোৱা।
3️⃣ AC ৰ মধ্যবিন্দু O লোৱা।
4️⃣ O কেন্দ্ৰ কৰি OC ব্যাসাৰ্ধেৰে অৰ্ধবৃত্ত আঁকা।
5️⃣ B বিন্দুত লম্ব BD আঁকা।
6️⃣ B কেন্দ্ৰ কৰি BD ব্যাসাৰ্ধ লৈ arc আঁকিলে সংখ্যাৰেখাত E বিন্দু পোৱা যায়।
∴ E বিন্দুৱে √9.3 সূচায়।
প্ৰশ্ন 5. তলৰ ৰাশিবোৰৰ হৰৰ পৰিমেয়কৰণ কৰা।
(i) 1/√7
= (1/√7) × (√7/√7)
= √7 / 7
∴ উত্তৰ = √7 / 7
= √7 / 7
∴ উত্তৰ = √7 / 7
(ii) 1/(√7 − √6)
লব আৰু হৰক (√7 + √6) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (√7 + √6)/(7 − 6)
∴ উত্তৰ = √7 + √6
= (√7 + √6)/(7 − 6)
∴ উত্তৰ = √7 + √6
(iii) 1/(√5 + √2)
লব আৰু হৰক (√5 − √2) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (√5 − √2)/(5 − 2)
∴ উত্তৰ = (√5 − √2)/3
= (√5 − √2)/(5 − 2)
∴ উত্তৰ = (√5 − √2)/3
(iv) 1/(√7 − 2)
লব আৰু হৰক (√7 + 2) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (√7 + 2)/(7 − 4)
∴ উত্তৰ = (√7 + 2)/3
= (√7 + 2)/(7 − 4)
∴ উত্তৰ = (√7 + 2)/3
(v) 13/√5
= (13/√5) × (√5/√5)
= 13√5 / 5
∴ উত্তৰ = 13√5 / 5
= 13√5 / 5
∴ উত্তৰ = 13√5 / 5
(vi) (6 + √5)/(6 − √5)
লব আৰু হৰক (6 + √5) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (6 + √5)(6 + √5) / (36 − 5)
= (36 + 12√5 + 5)/31
∴ উত্তৰ = (41 + 12√5)/31
= (6 + √5)(6 + √5) / (36 − 5)
= (36 + 12√5 + 5)/31
∴ উত্তৰ = (41 + 12√5)/31
(vii) (5 + √3)/(3 + √6)
লব আৰু হৰক (3 − √6) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (5 + √3)(3 − √6)/(9 − 6)
= (15 − 5√6 + 3√3 − 3√2)/3
∴ উত্তৰ = (15 − 5√6 + 3√3 − 3√2)/3
= (5 + √3)(3 − √6)/(9 − 6)
= (15 − 5√6 + 3√3 − 3√2)/3
∴ উত্তৰ = (15 − 5√6 + 3√3 − 3√2)/3
(viii) (2√3 − 3√2)/(3√2 + 2√3)
লব আৰু হৰক (3√2 − 2√3) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= (2√3 − 3√2)(3√2 − 2√3)/(18 − 12)
= (12√6 − 12 − 18 + 12√6)/6
= (24√6 − 30)/6
∴ উত্তৰ = 4√6 − 5
= (2√3 − 3√2)(3√2 − 2√3)/(18 − 12)
= (12√6 − 12 − 18 + 12√6)/6
= (24√6 − 30)/6
∴ উত্তৰ = 4√6 − 5
(ix) (√(a+x) − √(a−x)) / (√(a+x) + √(a−x))
লব আৰু হৰক (√(a+x) − √(a−x)) দ্বাৰা গুণ কৰি,
= [(a+x) − (a−x)] / [(a+x) − (a−x)]
= 2x / [2a − 2√(a²−x²)]
∴ উত্তৰ = x / [a − √(a²−x²)]
= [(a+x) − (a−x)] / [(a+x) − (a−x)]
= 2x / [2a − 2√(a²−x²)]
∴ উত্তৰ = x / [a − √(a²−x²)]
প্ৰশ্ন 6
(i) যদি x = 1 + √2 তেন্তে দেখুওৱা যে —
(x − 1/x)³ = 8
x = 1 + √2
∴ 1/x = 1/(1+√2)
লব আৰু হৰক (1−√2) দ্বাৰা গুণ কৰি,
1/x = (1−√2)/(1−2)
= (1−√2)/(-1)
= √2 − 1
এতিয়া,
x − 1/x
= (1+√2) − (√2−1)
= 1 + √2 − √2 + 1
= 2
সেয়ে,
(x − 1/x)³
= 2³
= 8
∴ প্ৰমাণিত।
∴ 1/x = 1/(1+√2)
লব আৰু হৰক (1−√2) দ্বাৰা গুণ কৰি,
1/x = (1−√2)/(1−2)
= (1−√2)/(-1)
= √2 − 1
এতিয়া,
x − 1/x
= (1+√2) − (√2−1)
= 1 + √2 − √2 + 1
= 2
সেয়ে,
(x − 1/x)³
= 2³
= 8
∴ প্ৰমাণিত।
(ii) সৰল কৰা —
1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+√4)
প্ৰথম পদঃ
1/(1+√2)
= (1−√2)/(1−2)
= √2 − 1
দ্বিতীয় পদঃ
1/(√2+√3)
= (√3−√2)/(3−2)
= √3 − √2
তৃতীয় পদঃ
1/(√3+√4)
= (√4−√3)/(4−3)
= 2 − √3
এতিয়া সকলো যোগ কৰি,
(√2−1) + (√3−√2) + (2−√3)
= √2 −1 + √3 −√2 +2 −√3
= 1
∴ উত্তৰ = 1
1/(1+√2)
= (1−√2)/(1−2)
= √2 − 1
দ্বিতীয় পদঃ
1/(√2+√3)
= (√3−√2)/(3−2)
= √3 − √2
তৃতীয় পদঃ
1/(√3+√4)
= (√4−√3)/(4−3)
= 2 − √3
এতিয়া সকলো যোগ কৰি,
(√2−1) + (√3−√2) + (2−√3)
= √2 −1 + √3 −√2 +2 −√3
= 1
∴ উত্তৰ = 1
(iii) 1.27 আৰু 0.13 পৰিমেয় সংখ্যা দুটা যোগ কৰা।
1.27 = 127/100
0.13 = 13/100
এতিয়া,
127/100 + 13/100
= 140/100
= 14/10
= 1.4
∴ উত্তৰ = 1.4
0.13 = 13/100
এতিয়া,
127/100 + 13/100
= 140/100
= 14/10
= 1.4
∴ উত্তৰ = 1.4
No comments:
Post a Comment
Please do not enter any spam link in the comment box.