Class 9 Maths assamese medium| Chapter 2 Exercise 2.4 Solutions in Assamese

 নৱম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ দ্বিতীয় অধ্যায় "বহুপদ" (Polynomials) ৰ নতুন পাঠ্যক্ৰমৰ আধাৰত অনুশীলনী ২.৪ (Exercise 2.4) ৰ আটাইকেইটা প্ৰশ্নৰ সহজ, স্পষ্ট সমাধান আগবঢ়াইছোঁ। এই অনুশীলনীটো মূলতঃ বীজগণিতীয় অভেদসমূহৰ (Algebraic Identities) প্ৰয়োগৰ ওপৰত প্ৰতিষ্ঠিত।

নৱম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় ২ (বহুপদ) অনুশীলনী ২.৪ সম্পূৰ্ণ সমাধান - Class 9 Maths Chapter 2 Exercise 2.4 Solutions in Assamese

অন্যান্য অনুশীলনীসমূহ (Other Exercises):

অনুশীলনী (Exercise)	সমাধান (Solutions)
অনুশীলনী 2.1	Click Here
অনুশীলনী 2.2	Click Here
অনুশীলনী 2.3	Click Here

---

সূচীৱদ্ধ তালিকা (Table of Contents)

প্ৰশ্ন ক্ৰমিক	বিৱৰণ (Topics Covered)
প্ৰশ্ন ১	উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি পূৰণফল নিৰ্ণয়
প্ৰশ্ন ২	প্ৰত্যক্ষভাৱে পূৰণ নকৰাকৈ মান নিৰ্ণয়
প্ৰশ্ন ৩	উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ
প্ৰশ্ন ৪	ত্ৰিপদী বৰ্গৰ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি বিস্তাৰ কৰা
প্ৰশ্ন ৫	বিস্তাৰিত ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ
প্ৰশ্ন ৬	ঘনফলৰ (Cubes) বিস্তাৰ কৰা
প্ৰশ্ন ৭	অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি সংখ্যাৰ ঘনফল নিৰ্ণয়
প্ৰশ্ন ৮	ঘনফল যুক্ত বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ
প্ৰশ্ন ৯	বীজগণিতীয় অভেদৰ সত্যাপন (Verification)
প্ৰশ্ন ১০	ঘনফলৰ যোগ/বিয়োগৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ
প্ৰশ্ন ১১	ত্ৰিঘাত অভেদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ
প্ৰশ্ন ১২	বিশেষ ত্ৰিঘাত অভেদৰ সত্যাপন
প্ৰশ্ন ১৩	x + y + z = 0 হ'লে বিশেষ ধৰ্মৰ প্ৰমাণ
প্ৰশ্ন ১৪	প্ৰত্যক্ষভাৱে ঘন নকৰাকৈ সৰলীকৰণ
প্ৰশ্ন ১৫	কালিৰ পৰা আয়তৰ সম্ভৱপৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ
প্ৰশ্ন ১৬	আয়তনৰ পৰা আয়তীয় ঘনকৰ মাত্ৰা নিৰ্ণয়

প্ৰশ্ন ১: তলৰ পূৰণফলকেইটা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰা:

ব্যৱহৃত অভেদ: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

(i) (x + 4)(x + 10)

ইয়াত, a = 4 আৰু b = 10

= x² + (4 + 10)x + (4 × 10)

= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8)(x - 10)

ইয়াত, a = 8 আৰু b = -10

= x² + [8 + (-10)]x + [8 × (-10)]

= x² + (8 - 10)x - 80

= x² - 2x - 80

(iii) (3x + 4)(3x - 5)

ইয়াত চলকৰ ঠাইত 3x আছে, য’ত a = 4 আৰু b = -5

= (3x)² + [4 + (-5)](3x) + [4 × (-5)]

= 9x² + (-1)(3x) - 20

= 9x² - 3x - 20

(iv) (y² + 3/2)(y² - 3/2)

অভেদ: (a + b)(a - b) = a² - b²

= (y²)² - (3/2)²

= y⁴ - 9/4

(v) (3 - 2x)(3 + 2x)

= (3)² - (2x)²

= 9 - 4x²

প্ৰশ্ন ২: প্ৰত্যক্ষভাৱে পূৰণ নকৰাকৈ তলৰ পূৰণফলসমূহ নিৰ্ণয় কৰা:

(i) 103 × 107

= (100 + 3)(100 + 7)

= 100² + (3 + 7)100 + (3 × 7)

= 10000 + 10(100) + 21

= 10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96

= (100 - 5)(100 - 4)

= 100² + [(-5) + (-4)]100 + [(-5) × (-4)]

= 10000 + (-9)100 + 20

= 10000 - 900 + 20 = 9120

(iii) 104 × 96

= (100 + 4)(100 - 4)

অভেদ: (a + b)(a - b) = a² - b²

= 100² - 4²

= 10000 - 16 = 9984

প্ৰশ্ন ৩: উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:

(i) 9x² + 6xy + y²

অভেদ: a² + 2ab + b² = (a + b)²

= (3x)² + 2(3x)(y) + y²

= (3x + y)²

= (3x + y)(3x + y)

(ii) 4y² - 4y + 1

অভেদ: a² - 2ab + b² = (a - b)²

= (2y)² - 2(2y)(1) + 1²

= (2y - 1)²

= (2y - 1)(2y - 1)

(iii) x² - y²/100

অভেদ: a² - b² = (a + b)(a - b)

= x² - (y/10)²

= (x + y/10)(x - y/10)

প্ৰশ্ন ৪: উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ প্ৰতিটোৰে বিস্তাৰ কৰা:

ব্যৱহৃত অভেদ: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(i) (x + 2y + 4z)²

= x² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)

= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x - y + z)²

= (2x)² + (-y)² + z² + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)

= 4x² + y² + z² - 4xy - 2yz + 4zx

(iii) (-2x + 3y + 2z)²

= (-2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)

= 4x² + 9y² + 4z² - 12xy + 12yz - 8zx

(iv) (3a - 7b - c)²

= (3a)² + (-7b)² + (-c)² + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)

= 9a² + 49b² + c² - 42ab + 14bc - 6ca

(v) (-2x + 5y - 3z)²

= (-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)

= 4x² + 25y² + 9z² - 20xy - 30yz + 12zx

(vi) [¼a - ½b + 1]²

= (¼a)² + (-½b)² + 1² + 2(¼a)(-½b) + 2(-½b)(1) + 2(1)(¼a)

= 1/16 a² + ¼ b² + 1 - ¼ ab - b + ½ a

প্ৰশ্ন ৫: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:

(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy - 24yz - 16xz

মন কৰা যে yz আৰু xz থকা পদদুটা ঋণাত্মক, অৰ্থাৎ z থকা পদটো ঋণাত্মক হ’ব।

= (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x)

= (2x + 3y - 4z)²

= (2x + 3y - 4z)(2x + 3y - 4z)

(ii) 2x² + y² + 8z² - 2√2xy + 4√2yz - 8xz

ইয়াত xy আৰু xz পদদুটা ঋণাত্মক, গতিকে x থকা পদটো ঋণাত্মক হ’ব। [যিহেতু 2 = (√2)² আৰু 8 = (2√2)²]

= (-√2x)² + y² + (2√2z)² + 2(-√2x)(y) + 2(y)(2√2z) + 2(2√2z)(-√2x)

= (-√2x + y + 2√2z)²

= (-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y + 2√2z)

প্ৰশ্ন ৬: তলৰ ঘনফলকেইটা বিস্তাৰে লিখা:

অভেদসমূহ: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

(i) (2x + 1)³

= (2x)³ + 1³ + 3(2x)(1)(2x + 1)

= 8x³ + 1 + 6x(2x + 1)

= 8x³ + 1 + 12x² + 6x

= 8x³ + 12x² + 6x + 1

(ii) (2a - 3b)³

= (2a)³ - (3b)³ - 3(2a)(3b)(2a - 3b)

= 8a³ - 27b³ - 18ab(2a - 3b)

= 8a³ - 27b³ - 36a²b + 54ab²

(iii) [3x/2 + 1]³

= (3x/2)³ + 1³ + 3(3x/2)(1)(3x/2 + 1)

= 27x³/8 + 1 + 9x/2(3x/2 + 1)

= 27x³/8 + 1 + 27x²/4 + 9x/2

= 27x³/8 + 27x²/4 + 9x/2 + 1

(iv) [x - 2y/3]³

= x³ - (2y/3)³ - 3(x)(2y/3)(x - 2y/3)

= x³ - 8y³/27 - 2xy(x - 2y/3)

= x³ - 8y³/27 - 2x²y + 4xy²/3

প্ৰশ্ন ৭: উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:

(i) (99)³

= (100 - 1)³

= 100³ - 1³ - 3(100)(1)(100 - 1)

= 1000000 - 1 - 300(99)

= 1000000 - 1 - 29700 = 970299

(ii) (102)³

= (100 + 2)³

= 100³ + 2³ + 3(100)(2)(100 + 2)

= 1000000 + 8 + 600(102)

= 1000000 + 8 + 61200 = 1061208

(iii) (998)³

= (1000 - 2)³

= 1000³ - 2³ - 3(1000)(2)(1000 - 2)

= 1000000000 - 8 - 6000(998)

= 1000000000 - 8 - 5988000 = 994011992

প্ৰশ্ন ৮: তলৰ প্ৰতিটোৰে উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা:

(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²

= (2a)³ + b³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²

= (2a + b)³ = (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a³ - b³ - 12a²b + 6ab²

= (2a)³ - b³ - 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)²

= (2a - b)³ = (2a - b)(2a - b)(2a - b)

(iii) 27 - 125a³ - 135a + 225a²

= 3³ - (5a)³ - 3(3)²(5a) + 3(3)(5a)²

= (3 - 5a)³ = (3 - 5a)(3 - 5a)(3 - 5a)

(iv) 64a³ - 27b³ - 144a²b + 108ab²

= (4a)³ - (3b)³ - 3(4a)²(3b) + 3(4a)(3b)²

= (4a - 3b)³ = (4a - 3b)(4a - 3b)(4a - 3b)

(v) 27p³ - 1/216 - 9p²/2 + p/4

= (3p)³ - (1/6)³ - 3(3p)²(1/6) + 3(3p)(1/6)²

= (3p - 1/6)³ = (3p - 1/6)(3p - 1/6)(3p - 1/6)

প্ৰশ্ন ৯: সত্যাপন (Verify) কৰা:

(i) x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

RHS = (x + y)(x² - xy + y²)

= x(x² - xy + y²) + y(x² - xy + y²)

= x³ - x²y + xy² + x²y - xy² + y³

= x³ + y³ = LHS
[সত্যাপিত হ’ল]

(ii) x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

RHS = (x - y)(x² + xy + y²)

= x(x² + xy + y²) - y(x² + xy + y²)

= x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³

= x³ - y³ = LHS
[সত্যাপিত হ’ল]

প্ৰশ্ন ১০: তলৰ প্ৰতিটোৰে উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা (প্ৰশ্ন ৯ ৰ সহায় লৈ):

(i) 27y³ + 125z³

= (3y)³ + (5z)³

অভেদ x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) প্ৰয়োগ কৰি:

= (3y + 5z)[(3y)² - (3y)(5z) + (5z)²]

= (3y + 5z)(9y² - 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ - 343n³

= (4m)³ - (7n)³

অভেদ x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) প্ৰয়োগ কৰি:

= (4m - 7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]

= (4m - 7n)(16m² + 28mn + 49n²)

প্ৰশ্ন ১১: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: 27x³ + y³ + z³ - 9xyz

অভেদ: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

= (3x)³ + y³ + z³ - 3(3x)(y)(z)

= (3x + y + z)[(3x)² + y² + z² - (3x)(y) - yz - z(3x)]

= (3x + y + z)(9x² + y² + z² - 3xy - yz - 3zx)

প্ৰশ্ন ১২: সত্যাপন কৰা: x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½ (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]

RHS = ½ (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]

= ½ (x + y + z)[(x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²)]

= ½ (x + y + z)[2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]

= ½ × 2 (x + y + z)[x² + y² + z² - xy - yz - zx] [2 উমৈহতীয়া লৈ]

= (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

= x³ + y³ + z³ - 3xyz = LHS
[সत्याপিত হ’ল]

প্ৰশ্ন ১৩: যদি x + y + z = 0 হয়, তেন্তে দেখুওৱা যে x³ + y³ + z³ = 3xyz

আমি জানো যে,

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

যিহেতু প্ৰশ্নত দিয়া আছে, x + y + z = 0, গতিকে এই মানটো সোঁফালে বহুৱাই পাওঁ:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 × (x² + y² + z² - xy - yz - zx)

x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
[প্ৰমাণিত]

প্ৰশ্ন ১৪: প্ৰত্যক্ষভাৱে ঘনফল উলিওৱাকৈ তলৰ প্ৰতিটোৰে মান নিৰ্ণয় কৰা:

প্ৰশ্ন ১৩-ৰ ধৰ্ম অনুসৰি: যদি x + y + z = 0 হয়, তেন্তে x³ + y³ + z³ = 3xyz

(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³

ইয়াত, x = -12, y = 7, z = 5

এতিয়া, x + y + z = -12 + 7 + 5 = -12 + 12 = 0

যিহেতু সমষ্টিটো শূন্য, গতিকে:

= 3 × (-12) × 7 × 5

= -36 × 35 = -1260

(ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³

ইয়াত, x = 28, y = -15, z = -13

এতিয়া, x + y + z = 28 + (-15) + (-13) = 28 - 28 = 0

গতিকে,

= 3 × (28) × (-15) × (-13)

= 84 × 195 = 16380

প্ৰশ্ন ১৫: তলৰ আয়তসমূহৰ কালিৰ ৰাশি থকা বহুপদৰ পৰা দীঘ আৰু প্ৰস্থৰ সম্ভৱপৰ ৰাশি উলিওৱা:

ধাৰণা: আয়তৰ কালি = দীঘ × প্ৰস্থ (গতিকে বহুপদটো উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিব লাগিব)

(i) কালি: 25a² - 35a + 12

মধ্যপদ ভাঙি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিলে (গুণফল = 25 × 12 = 300, যোগফল = -35, সংখ্যা দুটা হ’ব -20 আৰু -15):

= 25a² - 20a - 15a + 12

= 5a(5a - 4) - 3(5a - 4)

= (5a - 4)(5a - 3)

গতিকে, সম্ভৱপৰ দীঘ = (5a - 3) আৰু প্ৰস্থ = (5a - 4)

(ii) কালি: 35y² + 13y - 12

ইয়াত গুণফল = 35 × (-12) = -420, যোগফল = 13 (সংখ্যা দুটা হ’ব 28 আৰু -15):

= 35y² + 28y - 15y - 12

= 7y(5y + 4) - 3(5y + 4)

= (5y + 4)(7y - 3)

গতিকে, সম্ভৱপৰ দীঘ = (7y - 3) আৰু প্ৰস্থ = (5y + 4)

প্ৰশ্ন ১৬: তলত দিয়া আয়তনৰ ৰাশি থকা আয়তীয় ঘনকসমূহৰ মাত্ৰাসমূহৰ (Dimensions) সম্ভৱপৰ ৰাশি উলিওৱা:

ধাৰণা: আয়তীয় ঘনকৰ আয়তন = দীঘ × প্ৰস্থ × উচ্চতা (ইয়াত ৩ টা উৎপাদক ওলাব)

(i) আয়তন: 3x² - 12x

= 3x(x - 4)

= 3 × x × (x - 4)

গতিকে, সম্ভৱপৰ মাত্ৰাত্ৰয় হ’ল: 3, x আৰু (x - 4)

(ii) আয়তন: 12ky² + 8ky - 20k

= 4k(3y² + 2y - 5) [4k উমৈহতীয়া লৈ]

= 4k(3y² + 5y - 3y - 5) [মধ্যপদ ভাঙি]

= 4k[y(3y + 5) - 1(3y + 5)]

= 4k(3y + 5)(y - 1)

গতিকে, সম্ভৱপৰ মাত্ৰাত্ৰয় হ’ল: 4k, (3y + 5) আৰু (y - 1)

আশা কৰোঁ এই পোষ্টটোৱে আপোনাৰ অধ্যয়নত সহায় কৰিব। কিবা জানিবলগীয়া থাকিলে তলত কমেন্ট কৰিব পাৰে। ধন্যবাদ!