Class 9 Maths Assamese Medium| Chapter 2 Exercise 2.3 Solutions| নৱম শ্ৰেণী বহুপদ অনুশীলনী ২.৩

 

Class 9 Maths Chapter 2 Exercise 2.3 Solutions| নৱম শ্ৰেণী বহুপদ অনুশীলনী ২.৩

নতুন পাঠ্যপুথি (New Textbook) অনুসৰি নৱম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ দ্বিতীয় অধ্যায় "বহুপদ" (Polynomials) ৰ অনুশীলনী 2.3 ৰ প্ৰশ্ন 1 ৰ পৰা 9 লৈ আটাইকেইটা প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান তলত আগবঢ়োৱা হ'ল।

অন্যান্য অনুশীলনীসমূহ (Other Exercises):

অনুশীলনী (Exercise)	সমাধান (Solutions)
অনুশীলনী 2.1	Click Here
অনুশীলনী 2.2	Click Here
অনুশীলনী 2.4	Click Here

---

প্ৰশ্ন 1: তলৰ বহুপদবোৰৰ কোনটোৰ এটা উৎপাদক (x + 1) নিৰ্ণয় কৰা:

সংকেত: যদি p(-1) = 0 হয়, তেন্তে (x + 1) এটা উৎপাদক হ’ব।

(i) x³ + x² + x + 1
ধৰা হ’ল, p(x) = x³ + x² + x + 1
∴ p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0
উত্তৰ: (x + 1) টো উৎপাদক হয়।

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
ধৰা হ’ল, p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
∴ p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
উত্তৰ: (x + 1) টো উৎপাদক নহয়।

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
ধৰা হ’ল, p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
∴ p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1 = 1 - 3 + 3 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
উত্তৰ: (x + 1) টো উৎপাদক নহয়।

(iv) x³ - x² - (2 + √2)x + √2
ধৰা হ’ল, p(x) = x³ - x² - (2 + √2)x + √2
∴ p(-1) = (-1)³ - (-1)² - (2 + √2)(-1) + √2
= -1 - 1 + 2 + √2 + √2 = 2√2 ≠ 0
উত্তৰ: (x + 1) টো উৎপাদক নহয়।

প্ৰশ্ন 2: উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে g(x), p(x) ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় নিৰ্ণয় কৰা:

(i) p(x) = 2x³ + x² - 2x - 1, g(x) = x + 1
g(x) = 0 ⇒ x = -1
∴ p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² - 2(-1) - 1 = -2 + 1 + 2 - 1 = 0
উত্তৰ: g(x), p(x) ৰ উৎপাদক হয়।

(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) = 0 ⇒ x = -2
∴ p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 3(-2) + 1 = -8 + 12 - 6 + 1 = -1 ≠ 0
উত্তৰ: g(x), p(x) ৰ উৎপাদক নহয়।

(iii) p(x) = x³ - 4x² + x + 6, g(x) = x - 3
g(x) = 0 ⇒ x = 3
∴ p(3) = 3³ - 4(3)² + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0
উত্তৰ: g(x), p(x) ৰ উৎপাদক হয়।

প্ৰশ্ন 3: তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে (x - 1), p(x) ৰ এটা উৎপাদক হ’লে k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা:

সংকেত: যিহেতু (x - 1) এটা উৎপাদক, গতিকে উৎপাদক উপপাদ্য মতে p(1) = 0 হ’ব।

(i) p(x) = x² + x + k
⇒ p(1) = 0 ⇒ 1² + 1 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = -2
উত্তৰ: k = -2

(ii) p(x) = 2x² + kx + √2
⇒ p(1) = 0 ⇒ 2(1)² + k(1) + √2 = 0 ⇒ 2 + k + √2 = 0 ⇒ k = -(2 + √2)
উত্তৰ: k = -(2 + √2)

(iii) p(x) = kx² - √2x + 1
⇒ p(1) = 0 ⇒ k(1)² - √2(1) + 1 = 0 ⇒ k - √2 + 1 = 0 ⇒ k = √2 - 1
উত্তৰ: k = √2 - 1

(iv) p(x) = kx² - 3x + k
⇒ p(1) = 0 ⇒ k(1)² - 3(1) + k = 0 ⇒ k - 3 + k = 0 ⇒ 2k = 3 ⇒ k = 3/2
উত্তৰ: k = 3/2

প্ৰশ্ন 4: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা (দ্বিঘাত বহুপদ):

(i) 12x² - 7x + 1
= 12x² - 4x - 3x + 1
= 4x(3x - 1) - 1(3x - 1)
= (3x - 1)(4x - 1)

(ii) 2x² + 7x + 3
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3)(2x + 1)

(iii) 6x² + 5x - 6
= 6x² + 9x - 4x - 6
= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)
= (2x + 3)(3x - 2)

(iv) 3x² - x - 4
= 3x² - 4x + 3x - 4
= x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(x + 1)

প্ৰশ্ন 5: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা (ত্ৰিঘাত বহুপদ):

(i) x³ - 2x² - x + 2
= x²(x - 2) - 1(x - 2)
= (x - 2)(x² - 1)
= (x - 2)(x - 1)(x + 1)

(ii) x³ - 3x² - 9x - 5
ধৰা হ’ল p(x) = x³ - 3x² - 9x - 5. ইয়াত p(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0, গতিকে (x + 1) এটা উৎপাদক।
এতিয়া, x³ - 3x² - 9x - 5 = x²(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1)
= (x + 1)(x² - 4x - 5) = (x + 1)(x² - 5x + x - 5)
= (x + 1)[x(x - 5) + 1(x - 5)] = (x + 1)(x - 5)(x + 1)

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
ইয়াত p(-1) = -1 + 13 - 32 + 20 = 0, গতিকে (x + 1) এটা উৎপাদক।
= x²(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1)(x² + 12x + 20) = (x + 1)(x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1)(x + 10)(x + 2)

(iv) 2y³ + y² - 2y - 1
= y²(2y + 1) - 1(2y + 1)
= (2y + 1)(y² - 1)
= (2y + 1)(y - 1)(y + 1)

প্ৰশ্ন 6: যদি (x - 2), x² + kx + 10 ৰ এটা উৎপাদক হয়, তেন্তে k ৰ মান উলিওৱা।

সমাধান:
ধৰা হ’ল, p(x) = x² + kx + 10
যিহেতু (x - 2) বহুপদটোৰ উৎপাদক, গতিকে উৎপাদক উপপাদ্য মতে: p(2) = 0
⇒ 2² + k(2) + 10 = 0
⇒ 4 + 2k + 10 = 0
⇒ 2k + 14 = 0
⇒ 2k = -14 ⇒ k = -7
উত্তৰ: k = -7

প্ৰশ্ন 7: উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে (x - 1), x¹⁰ - 1 ৰ এটা উৎপাদক হয়।

সমাধান:
ধৰা হ’ল, p(x) = x¹⁰ - 1
এতিয়া, x = 1 বহুৱাই পাওঁ:
p(1) = 1¹⁰ - 1 = 1 - 1 = 0
যিহেতু p(1) = 0, গতিকে উৎপাদক উপপাদ্য অনুসৰি (x - 1) টো x¹⁰ - 1 ৰ এটা উৎপাদক। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 8: তলৰ কোনটো বহুপদৰ এটা উৎপাদক (x - 3)?

(a) x² - 5x + 6
(b) x² + 5x + 6
(c) x² - x - 2
(d) x² + x - 2

সমাধান: x = 3 বহুৱালে যিটো বহুপদৰ মান 0 হ’ব, সেইটোৱেই শুদ্ধ হ’ব।
বিকল্প (a) ত: 3² - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0
শুদ্ধ উত্তৰ: (a) x² - 5x + 6

প্ৰশ্ন 9: 4x² - 9 ৰ উৎপাদক দুটা কি কি?

(a) (2x - 3)(2x - 3)
(b) (2x - 3)(2x + 3)
(c) (4x - 3)(4x + 3)
(d) (x - 3)(x + 3)

সমাধান: 4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3) [সূত্ৰ: a² - b² = (a-b)(a+b)]
শুদ্ধ উত্তৰ: (b) (2x - 3)(2x + 3)

নৱম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ সহায়িকা হিচাপে এই পোষ্টটো যুগুত কৰা হৈছে। কিবা খেলিমেলি পালে তলৰ কমেন্ট বক্সত জনাব পাৰে।