Class_9_Maths, অনুশীলনী ২.৪ (Exercise 2.4)

অনুশীলনী ২.৪ (Exercise 2.4)

প্ৰশ্ন ১: তলৰ কোনটো বহুপদৰ এটা উৎপাদক (x + 1) তাক নিৰ্ণয় কৰা।

নিয়ম: যদি p(-1)=0 হয়, তেন্তে (x+1) বহুপদ p(x) ৰ এটা উৎপাদক হ'ব।

(i) p(x)=x³+x²+x+1

p(-1)=(-1)³+(-1)²+(-1)+1
=-1+1-1+1
=0

উত্তৰ: (x+1) এটা উৎপাদক।

(ii) p(x)=x⁴+x³+x²+x+1

p(-1)=1-1+1-1+1
=1 ≠ 0

উত্তৰ: (x+1) এটা উৎপাদক নহয়।

(iii) p(x)=x⁴+3x³+3x²+x+1

p(-1)=1-3+3-1+1
=1 ≠ 0

উত্তৰ: (x+1) এটা উৎপাদক নহয়।

(iv) p(x)=x³-x²-(2+√2)x+√2

p(-1)=(-1)³-(-1)²-(2+√2)(-1)+√2
=-1-1+2+√2+√2
=2√2 ≠ 0

উত্তৰ: (x+1) এটা উৎপাদক নহয়।

প্ৰশ্ন ২: উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি g(x), p(x) ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।

(i) p(x)=2x³+x²-2x-1
g(x)=x+1

x=-1

p(-1)=2(-1)³+(-1)²-2(-1)-1
=-2+1+2-1
=0

উত্তৰ: g(x) উৎপাদক।

(ii) p(x)=x³+3x²+3x+1
g(x)=x+2

x=-2

p(-2)=(-2)³+3(-2)²+3(-2)+1
=-8+12-6+1
=-1 ≠ 0

উত্তৰ: g(x) উৎপাদক নহয়।

(iii) p(x)=x³-4x²+x+6
g(x)=x-3

x=3

p(3)=27-36+3+6
=0

উত্তৰ: g(x) উৎপাদক।

প্ৰশ্ন ৩: যদি (x−1), p(x) ৰ এটা উৎপাদক হয়, তেন্তে k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

যিহেতু (x−1) উৎপাদক, গতিকে p(1)=0

(i) p(x)=x²+x+k

1+1+k=0
k=-2

(ii) p(x)=2x²+kx+√2

2+k+√2=0
k=-(2+√2)

(iii) p(x)=kx²-√2x+1

k-√2+1=0
k=√2-1

(iv) p(x)=kx²-3x+k

2k-3=0
k=3/2

প্ৰশ্ন ৪: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।

(i) 12x²-7x+1

=12x²-4x-3x+1
=4x(3x-1)-1(3x-1)
=(3x-1)(4x-1)

(ii) 2x²+7x+3

=2x²+6x+x+3
=2x(x+3)+(x+3)
=(x+3)(2x+1)

(iii) 6x²+5x-6

=6x²+9x-4x-6
=3x(2x+3)-2(2x+3)
=(2x+3)(3x-2)

(iv) 3x²-x-4

=3x²-4x+3x-4
=x(3x-4)+(3x-4)
=(3x-4)(x+1)

প্ৰশ্ন ৫: উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা (ত্ৰিঘাত বহুপদ)

(i) x³ - 2x² - x + 2

= x²(x - 2) - 1(x - 2)
= (x - 2)(x² - 1)
= (x - 2)(x - 1)(x + 1)

উত্তৰ: (x - 2)(x - 1)(x + 1)

(ii) x³ - 3x² - 9x - 5

ধৰা হ’ল, p(x)=x³-3x²-9x-5

x=-1 বহুৱালে,
p(-1)=(-1)³-3(-1)²-9(-1)-5
=-1-3+9-5
=0

গতিকে, (x+1) এটা উৎপাদক।

x³-3x²-9x-5
= x²(x+1)-4x(x+1)-5(x+1)
= (x+1)(x²-4x-5)
= (x+1)(x-5)(x+1)

উত্তৰ: (x + 1)²(x - 5)

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20

x=-1 বহুৱালে,
p(-1)=(-1)³+13(-1)²+32(-1)+20
=-1+13-32+20
=0

গতিকে, (x+1) এটা উৎপাদক।

x³+13x²+32x+20
= x²(x+1)+12x(x+1)+20(x+1)
= (x+1)(x²+12x+20)
= (x+1)(x+10)(x+2)

উত্তৰ: (x + 1)(x + 10)(x + 2)

(iv) 2y³ + y² - 2y - 1

= y²(2y + 1) - 1(2y + 1)
= (2y + 1)(y² - 1)
= (2y + 1)(y - 1)(y + 1)

উত্তৰ: (2y + 1)(y - 1)(y + 1)

প্ৰশ্ন ৬: যদি x² + px + q আৰু x² + mx + n বহুপদ দুটাৰ x + a এটা সাধাৰণ উৎপাদক, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে a = (n-q)/(m-p)

প্ৰমাণ:

ধৰা হ’ল,
P(x)=x²+px+q
Q(x)=x²+mx+n

যিহেতু (x+a) দুয়োটা বহুপদৰে এটা সাধাৰণ উৎপাদক, গতিকে উৎপাদক উপপাদ্য অনুসৰি x=-a বহুৱালে দুয়োৰে মান শূন্য হ’ব।

P(-a)=(-a)²+p(-a)+q=0
⇒ a²-pa+q=0 .......... (i)

Q(-a)=(-a)²+m(-a)+n=0
⇒ a²-ma+n=0 .......... (ii)

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা,

a²-pa+q = a²-ma+n

দুয়োফালে a² কৰ্তন কৰিলে,

-pa+q=-ma+n
⇒ ma-pa=n-q
⇒ a(m-p)=n-q
⇒ a=(n-q)/(m-p)

প্ৰমাণিত।

টোকা: কিতাপৰ প্ৰশ্নটোৰ সোঁপক্ষৰ সৈতে মিলাবলৈ সাধাৰণ উৎপাদকটো x-a হ'ব লাগিব। তেতিয়া, a=(n-q)/(p-m) প্ৰমাণিত হ’ব।